ФИПИ D8C152 — Окружности и системы окружностей

Нужно доказать равенство двух диагоналей и найти $BE$. Равные хорды дают равные дуги, а для вычислений удобно применять теорему Птолемея: произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон. Шаг 1. Докажем равенство диагоналей через дуги. Вершины идут на окружности в порядке $A,B,C,D,E$. Равным хордам одной окружности соответствуют равные дуги. Здесь $AB=CD=3$, поэтому дуги $AB$ и $CD$ равны; $BC=DE=4$, поэтому равны дуги $BC$ и $DE$. Дуга $ABC$ состоит из дуг длины, соответствующей хордам3 и4. Дуга $CDE$ состоит из таких же двух дуг. Значит, дуги $ABC$ и $CDE$ равны, а стягивающие их хорды $AC$ и $CE$ равны. Пункт а доказан. Также дуга $BCD$ состоит из дуг $BC$ и $CD$, то есть тех же двух составляющих, что дуга $ABC$. Поэтому $BD=AC$. Обозначим общую длину $AC=BD=CE=x>0$. Шаг 2. Найдём $x$ по четырёхугольнику $ABCD$. По теореме Птолемея: $$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.$$ Подставляем $AD=6$ и остальные длины: $$x^2=3\cdot3+4\cdot6=9+24=33.$$ Поскольку $x>0$, получаем $x=\sqrt{33}$. Шаг 3. Найдём $AE$ по четырёхугольнику $ACDE$. Его диагонали — $AD$ и $CE$, поэтому теорема Птолемея даёт $$AD\cdot CE=AC\cdot DE+CD\cdot AE.$$ $$6\sqrt{33}=4\sqrt{33}+3AE.$$ Вычитаем $4\sqrt{33}$, затем делим на3: $$2\sqrt{33}=3AE,\qquad AE=\frac{2\sqrt{33}}3.$$ Шаг 4. Найдём $BE$ по четырёхугольнику $ABCE$. Его диагонали — $AC$ и $BE$. Снова по Птолемею: $$AC\cdot BE=AB\cdot CE+BC\cdot AE.$$ $$\sqrt{33}\cdot BE=3\sqrt{33}+4\cdot\frac{2\sqrt{33}}3=3\sqrt{33}+\frac{8\sqrt{33}}3.$$ Приводим к общему знаменателю3: $$\sqrt{33}\cdot BE=\frac{9\sqrt{33}}3+\frac{8\sqrt{33}}3=\frac{17\sqrt{33}}3.$$ Делим на положительное $\sqrt{33}$: $$BE=\frac{17}3.$$ Проверка последнего равенства Птолемея: обе части равны $17\sqrt{33}/3$; первое также выполнено: $AC\cdot BD=33=9+24$. Ответ: а) $AC=CE$; б) $BE=17/3$.