ФИПИ 6B82FF — Окружности и системы окружностей

Нужно использовать радиусы в точки касания и прямой угол, опирающийся на диаметр. Сначала докажем необходимые геометрические связи, затем вычислим длины. Шаг 1. Свяжем биссектрису с хордой. Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OA\perp NA$, $OB\perp NB$. Прямоугольные треугольники $OAN$ и $OBN$ имеют общую гипотенузу $ON$ и равные катеты $OA=OB$ — радиусы. Значит, они равны, откуда $NA=NB$, а $ON$ делит угол $ANB$ пополам. И $O$, и $N$ равноудалены от $A$ и $B$. Поэтому прямая $ON$ является серединным перпендикуляром к $AB$. Если $H=ON\cap AB$, то $AH=BH=AB/2$ и $ON\perp AB$. Поскольку $BC$ — диаметр, вписанный угол $BAC$ прямой, то есть $AC\perp AB$. Следовательно, $AC\parallel ON$. Это и есть требуемое в пункте а: прямая $AC$ параллельна $ON$, а $ON$ — биссектриса угла $ANB$. Шаг 2. Найдём радиус окружности и расстояние от центра до хорды $AB$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза — диаметр $BC$. По теореме Пифагора: $$BC^2=AB^2+AC^2=24^2+10^2=576+100=676.$$ Радиус вдвое меньше диаметра, следовательно, $$R^2=\frac{BC^2}4=\frac{676}4=169.$$ Половина хорды $AH=24/2=12$. Из прямоугольного треугольника $OAH$: $$OH^2=OA^2-AH^2=169-12^2=169-144=25,\qquad OH=5.$$ Шаг 3. Получим формулу для $ON$ через подобие. В прямоугольном треугольнике $OAN$ отрезок $AH$ — высота к гипотенузе $ON$. Малый треугольник $OHA$ подобен $OAN$: угол при $O$ общий, а углы при $H$ и $A$ прямые. Соответствие сторон даёт $$\frac{OH}{OA}=\frac{OA}{ON}.$$ Умножаем на $OA\cdot ON$: $$OH\cdot ON=OA^2=R^2.$$ Делим на $OH>0$ и подставляем числа: $$ON=\frac{R^2}{OH}=\frac{169}{5}=\frac{169}{5}.$$ Требуется $NO$, поэтому ответ $\frac{169}{5}$. Проверка: $OH\cdot ON=5\cdot(\frac{169}{5})=169=R^2$, что согласуется с подобием. Ответ: а) утверждение доказано; б) $\frac{169}{5}$.