Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что $∠ANB=2∠ABC.$
б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB,$ если известно, что $AC=14$ и $AB=36.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\frac{324}{7}$.
Решение
Нужно использовать радиусы в точки касания и прямой угол, опирающийся на диаметр. Сначала докажем необходимые геометрические связи, затем вычислим длины.
Шаг 1. Свяжем биссектрису с хордой.
Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной. Поэтому $OA\perp NA$, $OB\perp NB$. Прямоугольные треугольники $OAN$ и $OBN$ имеют общую гипотенузу $ON$ и равные катеты $OA=OB$ — радиусы. Значит, они равны, откуда $NA=NB$, а $ON$ делит угол $ANB$ пополам.
И $O$, и $N$ равноудалены от $A$ и $B$. Поэтому прямая $ON$ является серединным перпендикуляром к $AB$. Если $H=ON\cap AB$, то $AH=BH=AB/2$ и $ON\perp AB$.
Поскольку $BC$ — диаметр, вписанный угол $BAC$ прямой, то есть $AC\perp AB$. Следовательно, $AC\parallel ON$.
Обозначим $\alpha=\angle ABC$. Так как $B,O,C$ лежат на одном луче из $B$, это также угол $ABO$. Треугольник $OAB$ равнобедренный, поэтому угол $OAB$ тоже равен $\alpha$. Его высота $OH$ делит угол при $O$ пополам. В прямоугольном треугольнике $OAH$ имеем $\angle AOH=90^\circ-\alpha$.
Точки $O,H,N$ расположены в таком порядке: $H$ лежит на хорде касания, между центром и внешней точкой $N$. Поэтому $\angle AON=\angle AOH=90^\circ-\alpha$. В прямоугольном треугольнике $OAN$:
$$\angle ANO=90^\circ-\angle AON=90^\circ-(90^\circ-\alpha)=\alpha.$$
А $ON$ — биссектриса, следовательно, $\angle ANB=2\angle ANO=2\alpha=2\angle ABC$. Пункт а доказан.
Шаг 2. Найдём радиус окружности и расстояние от центра до хорды $AB$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза — диаметр $BC$. По теореме Пифагора:
$$BC^2=AB^2+AC^2=36^2+14^2=1296+196=1492.$$
Радиус вдвое меньше диаметра, следовательно,
$$R^2=\frac{BC^2}4=\frac{1492}4=373.$$
Половина хорды $AH=36/2=18$. Из прямоугольного треугольника $OAH$:
$$OH^2=OA^2-AH^2=373-18^2=373-324=49,\qquad OH=7.$$
Шаг 3. Получим формулу для $ON$ через подобие.
В прямоугольном треугольнике $OAN$ отрезок $AH$ — высота к гипотенузе $ON$. Малый треугольник $OHA$ подобен $OAN$: угол при $O$ общий, а углы при $H$ и $A$ прямые. Соответствие сторон даёт
$$\frac{OH}{OA}=\frac{OA}{ON}.$$
Умножаем на $OA\cdot ON$:
$$OH\cdot ON=OA^2=R^2.$$
Делим на $OH>0$ и подставляем числа:
$$ON=\frac{R^2}{OH}=\frac{373}{7}=\frac{373}{7}.$$
Требуется расстояние от $N$ до прямой $AB$. Перпендикуляр к ней — $NH$, и $H$ находится между $O$ и $N$. Поэтому $$NH=ON-OH=\frac{373}{7}-7=\frac{373-49}{7}=\frac{324}{7}.$$
Проверка: $OH\cdot ON=7\cdot(\frac{373}{7})=373=R^2$, что согласуется с подобием.
Ответ: а) утверждение доказано; б) $\frac{324}{7}$.