Две окружности касаются внутренним образом в точке $A,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P.$ Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность
в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP.$ Найдите длину отрезка $AL,$ если радиус большей окружности равен 34, а $BC=32.$
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\sqrt{34}$.
Решение
Нужно доказать параллельность хорд, а затем найти отрезок $AL$. Используем тот факт, что малая окружность получается уменьшением большой с центром уменьшения в точке касания $A$. После этого достаточно будет вычислить $AP$ и поделить пополам.
Шаг 1. Найдём соотношение радиусов.
Обозначим центры большой и малой окружностей через $O$ и $I$, радиусы — через $R$ и $r$. При внутреннем касании центры и точка касания лежат на одной прямой, причём $OI=R-r$. Большой центр $O$ лежит на малой окружности, значит, $OI=r$. Приравниваем:
$$r=R-r,\qquad 2r=R,\qquad r=R/2.$$
Точки расположены в порядке $O,I,A$, причём $OI=IA=R/2$: $I$ — середина $OA$.
При гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $1/2$ каждая точка перемещается по лучу из $A$ на половину прежнего расстояния. Центр $O$ переходит в $I$, радиус $R$ — в $R/2=r$. Поэтому большая окружность переходит в малую. Точки $B,C$ переходят соответственно в $K,M$, то есть
$$AK=AB/2,\qquad AM=AC/2.$$
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника $ABC$, является его средней линией. Следовательно, $KM\parallel BC$. Пункт а доказан.
Шаг 2. Установим, почему $AL=AP/2$.
Точка $P$ лежит на $BC$, а параллельная ей средняя линия $KM$ пересекает $AP$ в $L$. Треугольники $AKL$ и $ABP$ подобны: угол при $A$ общий, углы при $K$ и $B$ равны из-за параллельных $KL$ и $BP$. Поэтому
$$\frac{AL}{AP}=\frac{AK}{AB}=\frac12,\qquad AL=AP/2.$$
Шаг 3. Вычислим расстояния до хорды.
По условию $R=34$, поэтому $r=34/2=17$. Пусть $Q$ — середина хорды $BC$. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, значит,
$$BQ=BC/2=32/2=16.$$
В прямоугольном треугольнике $OQB$ гипотенуза $OB=34$. Следовательно,
$$OQ^2=34^2-16^2=1156-256=900,\qquad OQ=30.$$
Прямая $BC$ касается малой окружности в $P$, поэтому $IP\perp BC$ и $IP=r=17$.
Шаг 4. Выберем координаты и найдём $AP$.
Возьмём $BC$ за горизонтальную ось, $Q$ за начало координат и направим вертикальную ось к $O$. Тогда $O=(0;30)$. Центр $I$ имеет расстояние 17 до горизонтальной оси, то есть его вертикальная координата равна $17$ или $-17$.
Второй вариант невозможен: тогда уже разность вертикальных координат $O$ и $I$ была бы $30-(-17)=47$, а расстояние $OI=17$ не может быть меньше этой разности. Значит, $I=(u;17)$ для некоторого $u$.
Из $OI=17$ по формуле расстояния:
$$u^2+(17-30)^2=17^2,$$
$$u^2+(-13)^2=289,\qquad u^2+169=289,\qquad u^2=120.$$
Точка касания — основание перпендикуляра из $I$, поэтому $P=(u;0)$. А $I$ — середина $OA$, следовательно, координаты $A$ получаем из $A=2I-O$:
$$A=(2u;2\cdot17-30)=(2u;4).$$
Теперь
$$AP^2=(2u-u)^2+(4-0)^2=u^2+16=120+16=136.$$
Положительный корень даёт
$$AP=\sqrt{136}=\sqrt{4\cdot34}=2\sqrt{34}.$$
Наконец, $AL=AP/2=2\sqrt{34}/2=\sqrt{34}$. Проверка: $A$ действительно лежит на большой окружности, поскольку $OA^2=(2u)^2+(4-30)^2=4\cdot120+676=1156=34^2$.
Ответ: а) $KM\parallel BC$; б) $AL=\sqrt{34}$.