Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн?
б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны?
в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) да; б) нет; в) 6
Решение
Нужно распределить все камни, поэтому сумма масс двух групп всегда одна и та же. Найдём её:
$$
4\cdot7+9\cdot22=28+198=226\text{ т}.
$$
Если в одной группе $r$ семитонных и $t$ двадцатидвухтонных камней, её масса равна $7r+22t$, где $r=0,1,2,3,4$ и $t=0,1,\ldots,9$. Эти границы позволят сделать полный, а не выборочный перебор.
а) Возьмём в первую группу три камня по 7 т и четыре по 22 т:
$$
3\cdot7+4\cdot22=21+88=109\text{ т}.
$$
Тогда во второй группе останутся один камень по 7 т и пять по 22 т:
$$
7+5\cdot22=7+110=117\text{ т};\qquad117-109=8\text{ т}.
$$
Ответ: да.
б) При равных массах каждая группа весила бы:
$$
226:2=113\text{ т}.
$$
После выбора $r$ камней по 7 т оставшаяся масса должна делиться на 22. Проверим все пять значений $r$; справа запишем остаток после выделения целого числа камней по 22 т:
$$
\begin{array}{c|c}
r&113-7r\\\hline
0&113=22\cdot5+3\\
1&106=22\cdot4+18\\
2&99=22\cdot4+11\\
3&92=22\cdot4+4\\
4&85=22\cdot3+19
\end{array}
$$
Ни один остаток не равен нулю. Набрать 113 т невозможно, значит, ответ: нет.
в) Обозначим массу меньшей группы $M$. Разность масс равна:
$$
(226-M)-M=226-2M=2(113-M).
$$
Значит, положительная разность — чётное целое число. Чтобы доказать минимум 6 т, нужно исключить только 2 т и 4 т: нулевая разность уже исключена в пункте б), а положительных чётных чисел между 4 и 6 нет.
Для разности 2 т меньшая группа должна весить:
$$
226-2M=2;\quad2M=224;\quad M=112.
$$
Для разности 4 т аналогично $M=(226-4)/2=111$. Для каждого из этих двух значений опять проверим все $r$:
$$
\begin{array}{c|c|c}
r&112-7r&111-7r\\\hline
0&112=22\cdot5+2&111=22\cdot5+1\\
1&105=22\cdot4+17&104=22\cdot4+16\\
2&98=22\cdot4+10&97=22\cdot4+9\\
3&91=22\cdot4+3&90=22\cdot4+2\\
4&84=22\cdot3+18&83=22\cdot3+17
\end{array}
$$
Нулевых остатков нет, поэтому обе массы недостижимы. А 6 т получить можно: положим в одну группу пять камней по 22 т, в другую — оставшиеся четыре по 22 т и все четыре по 7 т.
$$
M_1=5\cdot22=110;\qquad M_2=4\cdot22+4\cdot7=88+28=116;
$$
$$
116-110=6\text{ т}.
$$
Ответ: а) да; б) нет; в) 6 т.