В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.
На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$,
а на окружности другого основания $—$ точки ${B}_{1}$ и ${C}_{1}$, причём $B{B}_{1}$ $—$ образующая цилиндра, а отрезок $A{C}_{1}$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $AB{C}_{1}$ прямой.
б) Найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A{C}_{1}$, если $AB=21$, $B{B}_{1}=12$, ${B}_{1}{C}_{1}=16$.
Задание с развёрнутым ответом. Запишите решение и сравните его с разбором.
Ответ: а) доказано; б) $\frac{420}{29}$.
Решение
Вначале докажем прямой угол из пункта а). Это не отдельный отвлечённый факт: прямоугольные треугольники позволят затем применять теорему Пифагора и простые формулы площадей.
Обозначим через $C$ проекцию точки $C_1$ на основание, в котором лежат $A,B$. Образующие прямого цилиндра перпендикулярны основаниям. Поэтому $CC_1$ и $BB_1$ — параллельные вертикальные отрезки одинаковой длины, а $BC=B_1C_1$.
Почему $AC$ является диаметром? Отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. При проецировании на нижнее основание эта ось переходит в центр круга $O$, а отрезок $AC_1$ — в $AC$. Значит, $O$ лежит на $AC$. Обе точки $A,C$ лежат на окружности, поэтому проходящий через центр отрезок $AC$ — диаметр.
а) Вписанный угол $ABC$ опирается на диаметр $AC$. По теореме об угле, опирающемся на диаметр, он прямой:
$$\angle ABC=90^\circ,\qquad AB\perp BC.$$
Прямая $BB_1$ перпендикулярна основанию. Прямая $AB$ лежит в этом основании и проходит через $B$, поэтому:
$$AB\perp BB_1.$$
Прямые $BC$ и $BB_1$ пересекаются в точке $B$ и лежат в одной плоскости $BCC_1B_1$. Прямая $AB$ перпендикулярна обеим. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости она перпендикулярна всей этой плоскости, а значит, и проходящей через $B$ прямой $BC_1$:
$$AB\perp BC_1,\qquad\angle ABC_1=90^\circ.$$
Пункт а) доказан.
б) Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Опустим из $B$ перпендикуляр $BH$ на $AC_1$. Требуется найти $BH$.
В прямоугольном треугольнике $BB_1C_1$ известны оба катета. По теореме Пифагора:
$$BC_1^2=BB_1^2+B_1C_1^2=12^2+16^2.$$
Вычислим:
$$BC_1^2=144+256=400,$$
$$BC_1=\sqrt{400}=20.$$
По доказанному в пункте а) треугольник $ABC_1$ прямоугольный при $B$. Его катеты — $AB=21$ и $BC_1=20$. Найдём гипотенузу:
$$AC_1^2=21^2+20^2=441+400=841,$$
$$AC_1=29.$$
Теперь вычислим площадь одного и того же треугольника двумя способами. По двум перпендикулярным катетам:
$$S_{ABC_1}=\frac12 AB\cdot BC_1.$$
По гипотенузе как основанию и высоте $BH$ к ней:
$$S_{ABC_1}=\frac12 AC_1\cdot BH.$$
Приравняем правые части и умножим обе части на 2:
$$AB\cdot BC_1=AC_1\cdot BH.$$
Разделим на положительную длину $AC_1$:
$$BH=\frac{AB\cdot BC_1}{AC_1}.$$
Подставим числа и умножим числитель:
$$BH=\frac{21\cdot20}{29}=\frac{420}{29}.$$
Это и есть искомое расстояние. Оно меньше каждого катета, что согласуется с положением высоты прямоугольного треугольника.
Ответ: а) угол прямой; б) расстояние равно $\frac{420}{29}$.